Mathe-Abitur ohne Hilfsmittel: Rechenwege üben

Was kannst du vor dem Rechnen schon sehen?

Nimm ein leeres Blatt und schreibe den Funktionsterm f(x) = x · (x − a) darauf. Für den Anfang sei a positiv. Fahre mit dem Finger über die Klammern. Was müsste geschehen, damit das Produkt den Wert null annimmt? Bei x gleich null verschwindet der erste Faktor, bei x gleich a der zweite. So findest du die Nullstellen, ohne die Klammer aufzulösen. Schreib zu jeder Lösung kurz hinzu, welcher Faktor dort verschwindet.

Die Beispielsammlung der KMK enthält unter anderem Mathematikaufgaben, die ausdrücklich für eine Bearbeitung ohne Hilfsmittel gedacht sind. Solche Aufgaben eignen sich, wenn du einen Rechenweg zunächst auf Papier entwickeln willst. Welche Arbeitsmittel in deiner Prüfung zugelassen sind, klärst du anhand der Vorgaben für deinen eigenen Kurs. Wenn du mehrere Fassungen vor dir hast, kannst du mit dem Ratgeber zur Auswahl von Übungsaufgaben die passende heraussuchen.

Ein Rechenschritt, der eine Lösung verschluckt

Stell dir vor, neben deiner Rechnung steht eine zweite Lösung. Dort steht auf der linken Seite das Produkt x · (x − a), auf der rechten eine Null. Gleich im nächsten Schritt werden beide Seiten durch x geteilt. Am Ende bleibt x gleich a übrig. Weshalb fehlt die andere Nullstelle? Wer durch x dividiert, setzt voraus, dass x von null verschieden ist. Genau der ausgeschlossene Fall gehört aber zur ursprünglichen Gleichung. Markiere die Stelle mit der Division und schreibe die Voraussetzung an den Rand.

Löse die Aufgabe nun auf beiden Wegen. Bei der Produktform kannst du direkt beide Faktoren untersuchen. Wenn du den Weg über die Division gehst, prüfe x gleich null gesondert und rechne anschließend für die übrigen Werte weiter. Das Einsetzen in den Ausgangsterm zeigt dir, dass beide gefundenen Werte passen. Ob alle Lösungen erfasst sind, begründest du mit dem Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt reeller Zahlen verschwindet genau dann, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Vom Vorzeichen zum Verlauf

Zeichne eine waagerechte Achse und markiere null und a. Links von null sind beide Faktoren negativ. Dazwischen ist der erste positiv und der zweite negativ. Rechts von a sind beide positiv. Trage über jeden Abschnitt das zugehörige Vorzeichen des Produkts ein. Bei einer Skizze muss der Graph zwischen den Nullstellen also unter der Achse liegen. Zeigt deine Zeichnung dort einen Bogen nach oben über die Achse, hast du einen Widerspruch entdeckt, bevor du einen weiteren Funktionswert ausgerechnet hast.

Die Produktform erklärt auch eine Symmetrie. Wähle eine beliebige reelle Zahl x. Spiegelst du sie auf der Zahlengeraden am Mittelpunkt zwischen null und a, erhältst du a − x. Setzt du diesen Wert ein, entsteht das Produkt (a − x) · (−x). Das hat denselben Wert wie x · (x − a). Du hast damit eine Begründung für die Symmetrie der Parabel. Die Mathematikstandards der KMK beschreiben unter anderem das Verwenden von Darstellungen und das mathematische Argumentieren. Beides kannst du an deiner Skizze sehen, wenn du ihr die kurze Begründung beilegst.

Ändere die Bedingung und prüfe deine Skizze

Was ändert sich, wenn a negativ wird? Die Nullstelle a liegt jetzt links von null. Die Parabel bleibt nach oben geöffnet. Du kannst das anhand des ausmultiplizierten Terms prüfen, dessen quadratischer Anteil positiv bleibt. Berechne auch diesmal die Vorzeichen in den einzelnen Abschnitten. Wenn die Skizze aus dem ersten Versuch einfach unverändert stehen bleibt, verrät die Beschriftung der Achse sofort, wo du noch einmal hinschauen musst.

Probier zum Schluss den Grenzfall a gleich null. Beide Faktoren sind dann gleich x, die Nullstellen fallen zusammen, und auf beiden Seiten der Nullstelle ist das Produkt positiv. Dein Graph berührt die Achse. Notiere, welche Annahme sich in jeder Variante geändert hat und welche Eigenschaft erhalten blieb. Bei der nächsten Mathe-Übung in deinem Lernplan kannst du mit einem anders aufgebauten Term beginnen und zuerst nach einer Stelle suchen, an der ein unbedachter Rechenschritt Informationen verlieren würde.