Профильная математика ЕГЭ: как чередовать задачи

Что сравнить в уравнении и неравенстве

Откройте в навигаторе ФИПИ материалы по математике профильного уровня. Выберите тему уравнений или неравенств, которую вы уже проходили. Для первой тренировки удобна рациональная дробь. В ней легко проследить сразу несколько важных вещей: когда выражение имеет смысл, когда оно равно нулю и где меняет знак. Выберите задачу по силам, чтобы можно было подробно разобрать переходы, а не тратить весь вечер на длинные вычисления.

Запишите область допустимых значений до преобразований. Решая уравнение, отметьте, какое значение обращает числитель в нуль, и проверьте его по знаменателю. Для неравенства перенесите те же отметки на числовую прямую. Теперь вам нужны целые промежутки, где выражение имеет требуемый знак. Подставьте в выражение любое число из выбранного промежутка, чтобы определить знак. Вопрос о том, можно ли включить его концы, решайте отдельно. Равенство нулю может допускаться условием, а деление на нуль недопустимо всегда.

Как перевести текст задачи в математическую запись

Прочитайте сначала последнее предложение. Если спрашивают время работы, обозначьте это время переменной и запишите единицы рядом с ней. Затем вернитесь к условию и выясните, что именно остаётся постоянным. В задачах о совместной работе складывают производительности людей, когда те работают одновременно и их вклад складывается. Складывать время, которое каждому понадобилось бы на всё задание отдельно, в таком случае бессмысленно.

Перед вычислением прикиньте возможный ответ. Если помощники с положительной производительностью с самого начала трудятся вместе и не мешают друг другу, они должны закончить раньше, чем самый быстрый из них в одиночку. Это короткое наблюдение поможет обнаружить ошибку даже тогда, когда вычисления с дробями выглядят аккуратно.

Как читать график производной

Проверьте обозначение у вертикальной оси или в условии. Если перед вами график производной, высота точки показывает значение производной при данном аргументе. Чтобы определить, где возрастает сама функция, ищите участки, на которых линия находится выше горизонтальной оси. График производной на таком участке может идти вниз: положительная производная становится меньше, но функция продолжает возрастать.

Когда спрашивают про экстремумы, читайте график слева направо и следите за сменой знака. Запишите, что происходило с функцией до интересующей точки и что происходит после. Если производная равна нулю, а по обе стороны от этой точки её знак сохраняется, основания объявлять эту точку экстремумом нет. Значение самой функции в точке также нельзя считать с вертикальной оси графика её производной.

Пример плана

В понедельник разберите дробь (x − 3)/(x + 1). Сначала приравняйте её к нулю. Ответ x = 3 подходит, а x = −1 с самого начала исключён. Затем потребуйте, чтобы дробь была неотрицательной. Проверьте знаки при x = −2, x = 0 и x = 4. Получатся соответственно плюс, минус и плюс. Ответ состоит из промежутков (−∞; −1) и [3; +∞). Здесь особенно полезно объяснить вслух, почему левая граница второго промежутка включена, а правая граница первого исключена.

В среду разберите такую задачу. Одна бригада может проверить всю партию деталей за 6 часов, другая — за 12. За час вместе они проверяют 1/6 + 1/12 = 1/4 партии. Значит, на всю партию уйдёт 4 часа при постоянной производительности. Для самопроверки посчитайте долю каждой бригады за эти 4 часа. Получатся 2/3 и 1/3 партии, что вместе даёт целую партию.

В пятницу нарисуйте график производной, который до точки x = −1 идёт выше оси, затем до x = 2 остаётся ниже неё, а правее снова идёт выше. Пусть в местах пересечения с осью производная обращается в нуль. Тогда при x = −1 у функции локальный максимум, а при x = 2 локальный минимум. Сверьте ответ с направлением изменения самой функции на каждом участке. Если вы смотрели только на вершины нарисованной линии, возьмите для следующего занятия ещё один график.

В конце недели выберите из открытого банка незнакомую задачу того типа, в котором осталось больше всего сомнений. При разборе пробной работы запишите конкретный шаг: не исключил значение, при котором знаменатель равен нулю, сложил времена или перепутал графики. В план на неделю перенесите именно этот шаг и задачу, на которой его можно проверить.