ОГЭ по геометрии: от чертежа к доказательству

Выберите утверждение, которое предстоит обосновать

В рекомендациях ФИПИ по математике геометрическое доказательство выделено как отдельная задача. Перед повторением возьмите условие из демонстрационного варианта и прочтите только то, что требуется доказать. Об углах идёт речь или об отрезках? Если углы должны оказаться равными, подходящим промежуточным выводом может стать равенство треугольников. Если требуется перпендикулярность, иногда удобнее сначала найти равные смежные углы.

Откройте навигатор ОГЭ и разделите повторение по темам. В первой части плана оставьте треугольники и признаки их равенства. Во второй вернитесь к параллельным прямым и соотношениям углов. Затем подберите задачу об окружности, в которой придётся использовать уже знакомое свойство треугольника. Такой порядок можно изменить. Если вы уверенно узнаёте равные стороны, но не можете назвать соответствующие им углы, полезнее начать с обозначений на рисунке, чем сразу переходить к новой теме.

Сделайте два разных рисунка по одному условию

Пусть у треугольника АВС стороны АВ и АС равны, а точка М — середина стороны ВС. Требуется доказать, что АМ перпендикулярна ВС. Нарисуйте сначала высокий узкий треугольник, потом низкий широкий. На обоих чертежах отметьте равные боковые стороны одним знаком, а половины основания — другим. Не ставьте значок прямого угла в точке М: пока это только цель.

Выпишите отдельно то, что знаете о каждом маленьком треугольнике. АВ равна АС по условию. ВМ равна СМ по определению середины отрезка. Сторона АМ общая. Значит, треугольники АВМ и АСМ равны по трём сторонам. Именно такой порядок букв сопоставляет вершину В с вершиной С, а точку М с ней самой. Теперь можно сделать новый вывод: углы АМВ и АМС равны как соответствующие углы равных треугольников.

На этом месте доказательство ещё не закончено. Лучи МВ и МС противоположны, поскольку М лежит между В и С. Равные углы АМВ и АМС смежные, значит, каждый из них прямой. Следовательно, АМ перпендикулярна ВС. Последняя строка объясняет, как от равенства углов вы пришли к тому утверждению, о котором спрашивали.

Измените ровно одно условие

Оставьте точку М серединой ВС, но сдвиньте вершину А так, чтобы АВ и АС стали разными. Какие строки ещё верны? ВМ по-прежнему равна СМ, сторона АМ по-прежнему общая. Однако третьей пары равных сторон больше нет. Значит, прежнее доказательство нельзя перенести на любой треугольник, у которого проведена медиана. Если ваш текст остался убедительным даже после удаления ключевого условия, найдите фразу, в которой вы незаметно положились на рисунок.

Теперь возьмите окружность с центром О. Хорда КЛ не проходит через центр, а Н — её середина. Нужно доказать, что ОН перпендикулярна хорде. Соедините О с концами хорды. Откуда теперь известно, что ОК и ОЛ равны? Это радиусы одной окружности. Поэтому в треугольнике ОКЛ можно применить уже доказанное утверждение о медиане к основанию. Здесь вы переносите целое доказательство на новую фигуру. Фразы «на рисунке видна ось симметрии» для такого переноса недостаточно.

Проверьте запись глазами другого ученика

Закройте чертёж ладонью и перечитайте решение. Может ли одноклассник восстановить, где лежит середина и какие отрезки вы сравниваете? Если встречается фраза «эти углы равны», назовите углы по вершинам и укажите основание равенства. Затем откройте рисунок и проверьте порядок букв: вершину угла пишут в середине его обозначения. При разборе пробной работы удобно сохранить именно ту строку, в которой довод перестал работать, вместе с исправленным вариантом.

Пример плана

В понедельник докажите утверждение о медиане по собственному чертежу. На следующий день смените обозначения и начните со словесного условия. Проверьте, удалось ли без подсказки восстановить и признак равенства, и вывод о смежных углах. Если пропала только последняя строка, повторите свойства углов, а не весь раздел о треугольниках заново.

В конце недели возьмите задачу с хордой и добавьте к ней короткий вопрос: зачем оговорено, что хорда не проходит через центр? Если провести диаметр, его середина Н совпадёт с центром О, и единственную прямую по этим обозначениям провести не получится. С учётом ответа выберите следующую тему и запишите её в тетрадь. Для распределения занятий можно воспользоваться руководством по планированию недели. Если трудность вызвало положение точек, возьмите ещё одну задачу на построение чертежа. Если чертёж получился, но обоснования не хватило, подберите доказательство, в котором придётся назвать основание для каждого перехода.